03-06 Convexity with respect to generalized inequalities

\(\mathbb{R}\) 공간 이외의 공간에서는 \(R\) 공간에서 통상적으로 사용되는 ordering 개념에서 확장된, 일반화된 inequality 표현을 할 때 Cone의 정의를 활용한다. (02-01-04 참고) 이번 절에서는 Cone의 개념을 활용하여, \(\mathbb{R}\)공간 이외에서도 확장되는 monotonicity와 convexity의 개념을 살펴본다.

Monotonicity with respect to a generalized inequality

\(K \subseteq \mathbb{R}^n\)이 \(\preceq_K\)로 나타나는 proper cone이라 가정하자. Convex cone \(K \subseteq \mathbb{R}^n\)에 대해 다음과 같은 조건을 만족하면 proper cone이다.

• \(K\) is closed. (contains its boundary)
• \(K\) is solid (has nonempty interior)
• \(K\) is pointed (contains no line)

\(K\)-nondecreasing를 다음과 같이 정의한다.

\(f : \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}\) is K-nondecreasing if \(x \preceq_K y \Longrightarrow f(x) \leq f(y)\)

또한, 다음 조건을 만족할 때, \(K\)-increasing하다고 이야기 한다.

\(f : \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}\) is K-increasing if \(x \preceq_K y, x \neq y \Longrightarrow f(x) < f(y)\)

Gradient conditions for monotonicity

어떤 미분 가능한 function \(f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\)이 convex (즉, interval) domain 상에서 nondecreasing 하다는 것은, 모든 \(x \in \text{dom}f\)에서 \(f'(x) \geq 0\)이라는 뜻이며, 모든 \(x \in \text{dom}f\)에서 \(f'(x) > 0\)이면, increasing 하다는 것이다. 이와 유사하게 generalized inequality에서도 확장된 개념으로써, monotonicity를 표현할 수 있다.

도메인이 Convex일 때 미분가능한 function \(f\)가 K-nondecreasing하다는 것은 다음과 식을 만족한다는 의미이다. 잘 살펴보면 단순한 scalar와는 달리 gradient \(\nabla f(x)\)는 dual inequality에서 nonnegative이어야만 한다.

A differentiable function \(f\) is K-nondecreasing \(\Longleftrightarrow\) \(\nabla f(x) \succeq_{K^*} 0\) for all \(x \in \text{dom}f\)

다음 조건을 만족하면, \(f\)는 \(K\)-increasing 이라고 부른다. Scalar일 때와 같이 역은 성립하지 않는다.

\(\nabla f(x) \succ_{K^*} 0\) for all \(x \in \text{dom}f\) \(\Longrightarrow\) \(f\) is K-increasing.

Convexity with respect to generalized inequality

\(K \subseteq \mathbb{R}^m\)를 generalized inequality \(\preceq_K\)와 연관된 proper cone이라고 하자.
이때, \(f : \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m\)을 모든 \(x, y\), 그리고 \(0 \leq \theta \leq 1\)에서 \(K\)-convex라고 하면, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

\(f : \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^m\) is K-convex \(\Longrightarrow\) \(f(\theta x + (1 - \theta) y) \preceq_K \theta f(x) + (1 - \theta) f(y)\) with \(0 < \theta < 1\) for all x, y.

또한, strictly \(K\)-convex의 조건은 다음과 같다.

\(f(\theta x + (1 - \theta) y) \prec_K \theta f(x) + (1 - \theta) f(y)\) for all \(x \neq y\) and \(0 < \theta < 1\).

m = 1이고 K = \(\mathbb{R}_+\) 일 때가, 앞서 이야기해왔던 일반적인 convexity를 만족하는 부등식이 된다.

Dual characterization of \(K\)-convexity

\(f\)가 \(K\)-convex하다는 것은, 모든 \(w \succeq_K * 0\)에 대하여 (real-valued) function \(w^T f\)가 convex라는 것이다. \(f\)가 strictly convex 하다는 것은 모든 \(w \succeq_{K*} 0\) 에 대하여 (real-valued) function \(w^T f\)가 strictly convex 라는 것이다. 이는 dual inequality의 정의 및 성질을 따른다.

Differentiable K-convex functions

미분가능한 함수 \(f\)가 \(K\)-convex라면 함수 도메인이 convex일 때 다음 식이 성립한다.

\(f(y) \succeq_K f(x) + Df(x)(y - x)\) with all \(x, y \in \text{dom}f\)

여기서 \(Df(x) \in \mathbb{R}^{m \times n}\)는 derivative 혹은 점 \(x\)에서 \(f\)의 Jacobian matrix 이다.

\(f\)가 strictly \(K\)-convex 라면 함수 도메인이 convex일 때 다음 식이 성립한다.

\(f(y) \succ_K f(x) + Df(x)(y - x)\) with all \(x, y \in \text{dom}f\), \(x \neq y\)

Composition theorem

Composition 의 결과로 나타나는 많은 것들은 \(K\)-convexity 로 일반화 될 수 있다.
예를 들면, 만약 \(g : \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}^P\) 가 \(K\)-convex 이고, \(h : \mathbb{R}^P \rightarrow \mathbb{R}\) 이 convex, 그리고 \(h\)의 extended-value extension \(\widetilde{h}\) 가 \(K\)-nondecreasing이면, \(h \circ g\)는 convex이다. 이는 convex function의 nondecreasing convex function은 convex 임을 일반화한다.
(\(\widetilde{h}\)가 \(K\)-nondecreasing이라는 조건이 의미하는 것은 \(\text{dom}h - K = \text{dom}h\)이다.)