02-01-04 Cone

Cone은 빛이 광원에서 뻣어나가는 모습처럼 어떤 방향으로는 무한히 진행되지만 나머지 방향에서는 정의되지 않는 집합이다. 어떤 집합이 cone이라고 말할 수 있으려면 원점에서 집합에 속한 임의의 한 점을 지나는 반직선(ray)을 만들어서 그 반직선이 집합에 포함되는지를 보면 된다. (따라서, Cone은 반드시 원점을 포함해야 한다.) Cone은 경계를 가지므로 affine set이 될 수 없다. 수학적으로 이 내용을 정의해보자.

Cone

Cone은 반드시 원점을 포함해야 한다. 따라서. 원점에서 시작해서 집합에 속한 점 \(x \in C\)을 지나는 ray를 만들었을 때 \(\theta x \in C\)가 되면 집합 \(C\)를 cone 또는 nonnegative homogenous라고 한다.

\(\theta x \in C\) with \(x \in C\), \(\theta \ge 0\)

[참고] Affine set이나 convex set과는 달리, cone을 정의할 때는 ray의 출발점을 원점으로 가정하고 있기 때문에 집합에 속하는 하나의 점만을 사용해서 정의한다.

Convex Cone

집합 \(C\)가 cone이면서 동시에 convex이면 이를 convex cone이라고 하며 다음과 같이 정의한다.

\(\theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 \in C\) with \(x_1, x_2 \in C\), \(\theta_1, \theta_2 \ge 0\)

다음 그림에서는 파이 모양의 convex cone을 보여주고 있다. 그림에서 \(x_1\)과 \(x_2\)는 경계에 속하는 점으로 \(\theta_1\)과 \(\theta_2\)가 모두 0이면 꼭지점이 되고, 둘 중 하나가 0이면 경계선이 되며, 둘 모두 0보다 크면 내부의 점이 된다.

Conic combination

여러 점들을 linear combination할 때 계수를 0이상으로 제한하게 되면 이를 conic combination 또는 nonnegative linear combination이라고 한다.

A point of the form \(\theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + ... + \theta_k x_k\) with \(\theta_i \ge 0, i = 1, ..., k\)

이제 cone 정의를 conic combination 개념을 이용해서 일반화해 볼 수 있다. 즉, 어떤 집합 C에 속하는 임의의 여러 점들을 conic combination했을 때, 그 결과가 다시 집합 C에 속하면 그 집합은 conic set이라고 말할 수 있다.

반대로 conic set C에 속하는 점들의 conic combination은 항상 C에 속하게 된다.

Conic hull

\(C \subseteq R^n\)에 포함된 점들의 모든 conic combination들의 집합을 \(C\)의 conic hull이라고 한다. Conic hull은 항상 집합 \(C\)를 포함하는 가장 작은 convex cone이다.

\[\{ \theta_1 x_1 + \dotsi + \theta_k x_k \phantom{1} \mid \phantom{1} x_i \in C, \phantom{1} \theta_i \ge 0, \phantom{1} i = 1,\dotsc,k \}\]

다음 그림에서는 임의의 set으로 정의되는 conic hull을 보여주고 있다.