03-04-04 Operations that preserve quasiconvexity

이 절에서는 quasiconvexity를 유지하는 연산에 대해 살펴본다.

Nonnegative weighted maximum

\(f\)가 quasiconvex function일 때, nonnegative weighted maximum \(f\)는 quasiconvex 이다.

\(f = \max\{w_1f_1, ... ,w_mf_m\}\) with \(w_i \geq 0\) is quasiconvex

이 개념은 다음과 같이 확장될 수 있다.

\(f(x) = \sup_{y \in C}(w(y)g(x,y))\) with \(w(y) \geq 0\), where \(g(x,y)\) is quasiconvex in \(x\) for each \(y\).

Composition

만약 \(g : \mathbb{R}^n \mpasto \mathbb{R}\)가 quasiconvex이고, \(h : \mathbb{R} \mpasto \mathbb{R}\)이 nondecreasing이면, 합성곱 f는 quasiconvex를 만족한다.

\(f = h \circ g\) is quasiconvex if h is non-decreasing, g is quasiconvex.

Quasiconvex function과 affine 또는 linear-fractional 변환을 합성하면 quasiconvex function이 된다. 만약 \(f\)가 quasiconvex라면, \(g(x) = f(Ax + b)\) 역시 quasiconvex가 되고, \(\tilde{g}(x) = f((Ax + b)/(c^Tx + d))\)도 set \(\{x \mid c^Tx + d > 0, (Ax + b)/(c^Tx + d) \in \text{dom}f\}\)에서 quasiconvex가 된다.

Minimization

만약 \(f(x, y)\)가 quasiconvex를 만족하고, \(C\)가 convex set일 때, 다음 조건이 성립한다.

\(g(x) = \inf_{y \in C} f(x,y)\) is quasiconvex if f is quasiconvex in x, y, and C is convex set.

Representation via family of convex functions

Quasiconvex function f의 sublevel set을 convex function의 부등식으로 표현할 수 있다. Convex function의 family는 \(t \in \mathbb{R}\)에 대해 \(\phi_t : \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}\)이고, 다음과 같이 정의된다.

\[f(x) \leq t \Longleftrightarrow \phi_t(x) \leq 0\]

즉, quasiconvex function \(f(x)\)의 t-sublevel set은 convex function \(\phi_t\)의 0-sublevel set이 된다. 이 때, t는 convex function \(\phi\) 의 index를 나타낸다. 그리고, 모든 \(x \in R^n\)에 대해 다음을 만족한다.

\[\phi_t(x) \leq 0 \Longrightarrow \phi_s(x) \leq 0 \text{ for } s \geq t\]