02-04 Generalized inequalities

1차원 실수 공간 \(\mathbb{R}\)에서는 두 개의 숫자 1과 2가 있을 때 1보다 2가 크다고 말할 수 있다. 그러면, n차원 실수 공간 \(\mathbb{R}^n\)에서 두 점 \(x_1\)과 \(x_2\)가 있을 때 두 점 중 어떤 점이 더 크다고 말할 수 있을까? 그렇다고 말하기는 어렵다.

이 절에서는 n차원 실수 공간 \(\mathbb{R}^n\)에서 두 점의 순서를 비교하기 위한 generalized inequality를 살펴보고, set의 minimum과 minimal도 함께 살펴볼 것이다.

Proper cone

Convex cone \(K \subseteq \mathbb{R}^n\)가 다음 성질을 만족하면 proper cone이라고 한다.

• K is closed. (boundary를 포함한다.)
• K is solid. (interior가 empty가 아니다.)
• K is pointed. (직선을 포함하지 않는다.) (또는 \(x \in K, − x \in K \implies x = 0\))

\(n\)차원 공간에서 pointed & closed convex cone이 \(n-1\)차원 이하의 subspace에서 정의된다면 interior가 비게 된다. 왜냐하면, \(n-1\)차원 이하의 cone은 \(n\) 차원의 open ball을 포함하지 못하기 때문에 interior가 정의되지 않는다. 따라서, cone은 solid하지 않게 되고 proper cone이 될 수 없다. 예를 들어, \(\mathbb{R}^3\)에 정의된 2차원 파이 모양의 pointed & closed convex cone은 proper cone이 아니다.

Interior의 정의는 Wikipedia 정의를 참고하라.

Generalized inequality

Proper cone을 이용하면 \(\mathbb{R}^n\)의 partial ordering인 generalized inequality를 다음과 같이 정의할 수 있다. Generalized inequality는 \(R\)의 standard ordering과 비슷한 속성을 갖는다.

\[x \preceq_{K} y \iff y − x \in K\]

비슷하게 strict partial ordering을 다음과 같이 정의할 수 있다.

\(x \prec_{K} y \iff y − x \in\) int \(K\)

만일 \(K = \mathbb{R}_{+}\)이라면 \(\preceq_{K}\)는 \(\mathbb{R}\)에서의 일반적인 \(\le\)과 같다.

Properties of generalized inequalities

Generalized inequality \(\preceq_{K}\)는 다음과 같은 속성을 만족한다.

• \(\preceq_{K}\) is preserved under addition: if \(x \preceq_{K} y\) and \(u \preceq_{K} v\), then \(x+u \preceq_{K} y +v\).
• \(\preceq_{K}\) is transitive: if \(x \preceq_{K} y\) and \(y \preceq_{K} z\) then \(x \preceq_{K} z\).
• \(\preceq_{K}\) is preserved under nonnegative scaling: if \(x \preceq_{K} y\) and \(α ≥ 0\) then \(αx \preceq_{K} αy\).
• \(\preceq_{K}\) is reflexive: \(x \preceq_{K} x\).
• \(\preceq_{K}\) is antisymmetric: if \(x \preceq_{K} y\) and \(y \preceq_{K} x\), then \(x = y\).
• \(\preceq_{K}\) is preserved under limits: if \(x_i \preceq_{K} y_i\) for \(i = 1, 2, ..., x_i \to x\) and \(y_i \to y\) as \(i \to ∞\), then \(x \preceq_{K} y\).

Strict generalized inequality 위의 속성에 대응하는 속성을 갖는다.

Minimum and minimal elements

\(\mathbb{R}\)의 ordering과 \(\mathbb{R}^n\)의 generalized ordering의 가장 큰 차이는 linear ordering이다. \(\mathbb{R}\)에서는 \(x \lt y\) 또는 \(x \gt y\)와 같이 두 점을 비교할 수 있지만 generalized inequality는 그렇지 못하다. 따라서, generalized inequality 문맥으로 maximum과 minimum 개념을 정의하는 것이 훨씬 더 복잡할 것으로 예상해 볼 수 있다.

Minimum elements

\(x \in S\)이 모든 \(y \in S\)에 대해 \(x \preceq_{K} y\)이면 \(x\)는 집합 \(S\)의 minimum element이다. 비슷한 방식으로 maximum도 정의할 수 있다. 어떤 집합에서 minimum이 존재한다면 unique하다. 즉, minimum은 오직 하나만 존재한다.

어떤 점 \(x \in S\)가 \(S\)의 minimum이라면 \(S \subseteq x + K\)이다. 여기서 \(x + K\)의 의미는 (\(\preceq_{K}\)에 따라) 모든 점들은 \(x\)와 비교할 수 있으며 \(x\)와 같거나 크다는 의미이다.

Minimal elements

비슷한 개념으로 minimal이 있다. \(x \in S\)이 모든 \(y \in S\)에 대해 \(y \preceq_{K} x\)인 경우는 \(y=x\)인 경우뿐이라면 \(x\)는 집합 \(S\)의 minimal element이다. 비슷한 방식으로 maximal도 정의할 수 있다. 집합은 여러 개의 minimal element를 가질 수 있다.

어떤 점 \(x \in S\)가 \(S\)의 minimal이라면 \((x - K) \cap S = \{x\}\)이다. 여기서 \(x - K\)의 의미는 (\(\preceq_{K}\)에 따라) 모든 점들은 \(x\)와 비교할 수 있으며 \(x\)와 작거나 같다는 의미이다.

\(K = R_{+}\)의 경우 minimal과 minimum은 동일하며 일반적인 minimum의 정의에 부합한다.

\(R^2_{+}\) cone에서 minimum과 minimal

\(\mathbb{R}^2_{+}\) cone \(K\)를 고려해 보자. Inequality \(x \preceq_{K} y\)는 y가 x보다 오른쪽 위에 있다는 의미이다. \(x \in S\)일 때 \(x\)가 minimum이란 이야기는 \(S\)의 모든 점이 \(x\)보다 오른쪽 위에 있다는 의미이다. \(x\)가 minimal이란 이야기는 \(S\)에는 \(x\)의 왼쪽 아래에 있는 점이 없다는 의미이다.

아래 그림에서 \(S_1\)은 minimum \(x_1\)을 갖는다. 집합 \(x + K\)은 옅은 회색으로 표시되어 있으며 집합 \(S_1\)은 \(S_1 \subseteq x + K\)이기 때문에 \(x_1\)은 minimum이다. \(S_2\)은 minimal \(x_2\)을 갖는다. 집합 \(x - K\)은 옅은 회색으로 표시되어 있으며 집합 \(S_2\)은 \((x - K) \cap S = \{x\}\)이기 때문에 \(x_2\)는 minimal이다.