02-01-03 Convex set

이제 이 장의 핵심 개념인 convex set을 살펴보자. 직관적으로 convex set이란 오목하게 들어간 부분이나 내부에 구멍이 없는 집합을 의미한다. 따라서, 어떤 집합이 convex set이라고 말할 수 있으려면 집합에 속한 임의의 두 점으로 선분(line segment)을 만들어서 그 선분이 집합에 포함되는지를 보면 된다.

Convex set

집합 \(C \subseteq R^n\)에 속한 두 점 \(x_1\), \(x_2 \in C\)을 연결한 line segment가 \(C\)에 포함되면 이 집합을 convex set이라고 한다.

\(\theta x_1 + (1-\theta)x_2 \in C\) with \(x_1, x_2 \in C\), \(0 \le \theta \le 1\)

이 식을 다르게 해석해 보면 set \(C\)에 속한 두 점을 linear combination하되 계수가 양수이고 계수의 합을 1로 제한했다고 볼 수 있다. 그리고, 그 결과가 \(C\)에 다시 포함되면 convex set이다.

아래 그림에는 convex set을 설명하는 예들이 있다. 왼쪽의 육각형은 convex이지만 가운데 있는 콩팥 모양은 내부에 두 점을 이었을 때 선분이 외부로 나가기 때문에 convex가 아니다. 오른쪽 네모의 경우 경계의 일부가 open된 상태라 경계에서 선분을 만들면 set의 범위를 벗어나므로 convex가 아니다.

Convex combination

점들을 linear combination할 때 계수가 양수이고 계수의 합을 1로 제한하면 이를 convex combination이라고 한다.

A point of the form \(\theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \cdots + \theta_k x_k\) with \(\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_k = 1, \theta_i \ge 0, i = 1, ..., k\)

이제 convex set의 정의를 convex combination 개념을 이용해서 일반화해 볼 수 있다. 즉, 어떤 집합 C에 속하는 임의의 여러 점들의 convex combination이 집합 C에 속하면 그 집합은 convex set이라고 말할 수 있다.

반대로 convex set C에 속하는 점들의 convex combination은 항상 set C에 속하게 된다.

Convex hull

\(C \subseteq R^n\)에 포함된 점들의 모든 convex combination들의 집합을 \(C\)의 convex hull이라고 하며 conv \(C\)로 표기한다. Convex hull conv \(C\)은 항상 convex이며, 집합 \(C\)를 포함하는 가장 작은 convex set이다.

conv \(C = \{ \theta_1 x_1 + \cdots + \theta_k x_k \phantom{1} \mid \phantom{1} x_i \in C, \phantom{1} \theta_i \ge 0, \phantom{1} i = 1, ..., k, \phantom{1} \theta_1 + \cdots + \theta_k = 1 \}\) 아래 그림은 15개의 점으로 이뤄진 집합과 콩팥 모양의 집합에 대한 convex hull이다.