25-01-04 Branch and cut algorithm
1990년 CMU의 Sebastian Ceria는 cutting plane method를 branch and bound 알고리즘을 이용해서 성공적으로 구현을 하였으며 이를 branch and cut이라고 한다. 이때부터 cutting plane은 상용 최적화 solver의 핵심적인 컴포넌트가 되었다.
Branch and cut algorithm
다음과 같은 integer programing 문제가 있다고 하자. 이때 \(f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}\)이고 \(C \subseteq \mathbb{R}^{n}\)는 convex이며 \(J \subseteq {1, ..., n}\)이다.
\[\begin{align} \min_{x} & \quad {f(x)} \\ \text{subject to } & \quad x \in C \\ & \quad x_j \in \mathbb{Z}, \quad j \in J \\ \end{align}\]
Branch and cut algorithm
알고리즘에서 Convex Problem은 CP로 Integer Program은 IP로 표기한다.
- 다음 convex relaxation 문제를 푼다.
\[\begin{align} \min_{x} & \quad {f(x)} \\ \text{subject to } & \quad x \in C \\ & \quad x_j \in \mathbb{Z}, \quad j \in J \\ \end{align}\]
- (CR) infeasible \(\Rightarrow\) (IP) infeasible
- (CR)의 solution \(x^{\star}\)이 (IP) feasible \(\Rightarrow\) \(x^{\star}\)는 (IP)의 solution
- (CR)의 solution \(x^{\star}\)이 (IP) infeasible하면 다음 두 가지 중에 선택
\(\quad\)4.1 cut을 추가하고 step 1로 간다.
\(\quad\)4.2 branch해서 반복적으로 subproblem을 푼다.
Branch and cut algorithm은 branch and bound 와 cutting plane method를 결합한 알고리즘으로서, step 4에서 branch-and-bound를 할지, cut을 할지 선택할 수 있다.
Integer programming technology
Gurobi, CPLEX, FICO와 같은 state-of-the-art solver들은 매우 효율적인 simplex, interior-point method 등의 알고리즘 구현을 포함하고 있다. 특히, mixed integer optimization의 경우 대부분의 solver들은 branch and cut algorithm을 사용하고 있으며 이들은 convex relaxation과 warm start의 이점을 많이 활용하고 있다.
약 30년 전에 비하면 Integer programming의 성능 향상은 매우 비약적이다. 따라서, 그동안 풀지 못했던 실생활의 많은 문제들이 최근에 Integer programming을 통해 해결되고 있으며 computing power가 향상됨에 따라 더욱 적극적으로 활용될 전망이다.
- Algorithm에서의 속도 향상 1990-2016 : over \(500,000\)
- Hardware에서의 속도 향상 1990-2016 : over \(500,000\)
- Total speedup over \(250\) billion = \(2:5 \cdot 10^{11}\)
