20-01-01 Convergence Analysis
Lipschitz gradients and strong convexity
\(f\)가 closed convex 함수라고 가정하자. 그러면 다음 동치 관계가 성립된다.
\begin{equation} \text{\(f\) is strongly convex with parameter \(d\) \(\Longleftrightarrow \nabla f^{\ast}\) Lipschitz with parameter \(1/d\).} \end{equation}
Proof
만약 \(g\)가 strongly convex하고 \(x\)에서 minimize된다고 하면 다음 관계가 성립한다.
\begin{equation} g(y) \geq g(x) + \frac{d}{2}\lVert y-x \rVert_2^2, \text{ for all } y \end{equation}
우선, \(g(x) = f(x) − u^T x\)를 최소화하는 \(x_u = \nabla f^{\ast}(u)\)와 \(g(x) = f(x) − v^T x\)를 최소화하는 \(x_v = \nabla f^{\ast}(v)\)가 있다고 하자.
그러면, 위 식으로부터 다음 두 부등식을 얻을 수 있다.
\[\begin{alignat}{1} f(x_v) - u^Tx_v \geq f(x_u) - u^T x_u + \frac{d}{2} \lVert x_u - x_v \rVert_2^2 \\ f(x_u) - v^Tx_u \geq f(x_v) - v^T x_v + \frac{d}{2} \lVert x_u - x_v \rVert_2^2 \end{alignat}\]
위 두 식을 더하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
\begin{equation} f(x_v) - u^Tx_v + f(x_u) - v^Tx_u \geq f(x_u) - u^T x_u + f(x_v) - v^T x_v + d \lVert x_u - x_v \rVert_2^2.
\end{equation}
이 식을 재정렬 후 Cauchy-Schwartz를 적용하면 다음과 같이 정리된다.
\[\begin{align} d \lVert x_u - x_v \rVert_2^2 & \leq - u^Tx_v - v^Tx_u + u^T x_u + v^T x_v \\\\ & = (u-v)^T(x_u - x_v) \\\\ & \leq \lVert u-v \rVert_2 \lVert x_u - x_v \rVert_2 \end{align}\]
따라서, 다음과 같은 관계를 확인할 수 있다.
\[\lVert x_u - x_v \rVert_2 \leq \frac{1}{d} \lVert u-v \rVert_2\]
이로써 \(\nabla f^{\ast}\) Lipschitz with parameter \(1/d\)이 증명되었다.
Convergence guarantees
위 결과와 gradient descent를 결합하여, dual objective의 최적해로의 수렴성을 다음과 같이 설명할 수 있다.
- 만약 \(f\)가 파라미터 \(d\)로 strongly convex 하면, step size \(t_k=d (k=1,2,3, \dots\))에 대해서, dual gradient ascent는 \(O(1/\epsilon)\)으로 converge한다.
- 만약 \(f\)가 파라미터 \(d\)로 strongly convex 하고, \(\nabla f\)는 파라미터 \(L\)로 Lipschitz하면, step size \(t_k=2/(1/d + 1/L)\) (\(k=1,2,3, \dots\))에 대해서, dual gradient ascent는 \(O(\log(1/\epsilon))\)으로 converge한다. (linear convergence)
