19-05 Notable examples

Glmnet and QUIC

Proximal newton method의 매우 유명한 패키지가 두 가지가 있다.

• glmnet (Friedman et al., 2009): \(l_1\) penalized generalized linear models에 대한 prox Newton를 구현한 패키지. Coordinate descent를 이용해서 inner problem을 푼다.

• QUIC (Hsiesh et al., 2011): graphical lasso problem에 대한 prox Newton을 구현한 패키지. Factorization trick을 사용하고 coordinate descent를 이용해서 inner problem을 푼다.

두 구현 패키지는 각자의 용도에 맞춰서 매우 광범위하게 사용되고 있으며 state-of-the-art라고 할 수 있다.

Proximal Newton method는 proximal gradient보다 \(g\)의 gradient을 덜 자주 계산한다. 따라서, 계산 비용이 커질수록 proximal newton이 유리하다. 또한, inner solver를 신중하게 선택할수록 좋은 성능을 얻을 수 있다.

Example: lasso logistic regression

Lee et al. (2012)논문에서 제시된 예제를 살펴보자.

\(l_1\) regularized logistic regression에대해 다음 세가지 방법에 대해서 성능을 평가하였다. 1.FISTA : accelerated prox grad 2. spaRSA : spectral projected gradient method 3. PN : proximal Newton

Dense hessian X (n=5000, p=6000) 예시

데이터 수 n = 5000, feature 개수 p = 6000인 dense feature matrix \(X\)를 갖는 문제에 대해 다음과 같은 성능을 보였다. Hessian이 dense하기 때문에 매우 challenging한 문제라고 할 수 있다.

오른쪽은 함수 호출 기준으로, 왼쪽은 시간 기준으로 평가한 것으로서, 함수 호출 기준으로 봤을 때가 PN의 성능이 매우 우세함을 알 수 있다.

여기서 비용은 \(g\)와 \(\nabla g\)를 계산하는 시간이 대부분이며 특히 \(\exp\)와 \(\log\)함수를 계산하는 시간이 많이 들었다.

Sparse hessian X (n=542,000, p=47,000) 예시

다음의 경우는 \(X\)가 sparse하기 때문에 \(g\)와 \(\nabla g\)를 계산하는 시간이 덜 들었다.

Inexact prox evaluations

Proximal Newton method에서 proximal operation을 계산할 때 prox operator가 closed form이 아니기 때문에 정확히 계산하지 못한다. 그럼에도 불구하고, 매우 높은 정확도를 갖는다면 매우 좋은 성질이 될 수 있다.

Lee (2014)에서는 global convergence와 local superlinear convergence를 보장하는 inner problem의 stopping rule을 제안했다.

Three stopping rules

Graphical lasso estimation 문제에 inner optimizations을 위한 세 가지 stopping rules을 비교하였다. 이때, 데이터 개수는 n = 72이고 feature 개수는 p = 1255이다.

세 가지 stopping rule은 adaptive, maxiter = 10, exact이다. Maxiter는 inner iteration을 최대 10번까지만 하는 방식이고 exact는 정확한 해를 구할 때까지 반복하는 방식이다.

Proximal newton method가 quadratic convergence를 만족하므로 exact는 quadratic convergence를 만족한다고 볼 수 있다. Maxiter=10의 경우 최대 10번의 inner iteration으로는 quadratic convergence를 만족하지 못하지만 adaptive의 경우 quadratic convergence를 만족하며 세 가지 방식 중 가장 빠르다.

Stopping rule of usual newton method

일반적인 newton’s method에서는 inner problem은 \(x^{(k-1)}\)의 \(g\)에 대한 quadratic approximation인 \(\tilde{g}_{k-1}\)를 최소화한다. 그리고, \(\eta_k, k=1,2,3,...\)를 선택해서 다음 조건을 만족할 때 중지한다. (이를 forcing sequence라고 한다.)

\begin{align} \parallel \nabla \tilde{g}_{k-1}(x^{(k)}) \parallel_2 & \le \eta_k \parallel \nabla g(x^{(k-1)}) \parallel_2 \
\end{align}

이 조건은 다음 위치에서의 gradient가 현재 위치에서의 gradient보다 \(\eta_k\)배 만큼 작다는 것을 의미한다. 이때, Quadratic approximation은 \(\tilde{g}_{k-1}(z) = \nabla g(x)^T (z-x) + \frac{1}{2t} \parallel z - x \parallel_2^2\)이다.

Stopping rule of proximal gradient method

Lee et al. (2012)에서는 proximal gradient에서는 gradient 대신에 generalized gradient를 사용하는 방식을 제안하였다.

\[\begin{align} \parallel G_{\tilde{f}_{k-1}/M}(x^{(k)}) \parallel_2 & \le \eta_k \parallel G_{f/M}(x^{(k-1)}) \parallel_2 \end{align}\]

여기서 \(\tilde{f}_{k-1} = \tilde{g}_{k-1} + h\)이고 \(mI \preceq \nabla^2 g \preceq MI\)이다.

그리고, 다음과 같이 \(\eta_k\)를 설정하여 inexact proximal newton이 local superlinear rate를 갖는다는 것을 증명하였다.

\[\begin{align} \eta_k \le \min \left\{ \frac{m}{2}, \frac{\parallel G_{\tilde{f}_{k-2}/M}(x^{(k-1)}) - G_{f/M}(x^{(k-1)}) \parallel_2}{\parallel G_{f/M}(x^{(k-2)}) \parallel_2} \right\} \end{align}\]