07-02 Sub-differentials

한 볼록함수 \(f\)의 \(x\)에서의 subdifferential \(\partial f(x)\)는 \(x\)에서의 모든 subgradient들의 집합을 의미한다.

\begin{equation} \partial f(x) = {g \in \mathbb{R}^n | \text{g is a subgradient of f at x} } \end{equation}

Sub-differential은 다음과 같은 특성이 있다.

• \(\partial f(x)\) 는 \(f\)가 볼록함수이든지 아니든지 항상 닫혀있는 볼록 집합이 된다.

• \(\partial f(x)\) 는 \(f\)가 볼록함수이면 항상 하나이상의 원소를 가지며, 볼록함수가 아닐때는 공집합이 될 수 도 있다.

• 만약 \(f\)가 \(x\) 에서 미분가능하고 볼록함수이면, \(\partial f\)는 \(\{\nabla f(x)\}\) 만을 원소로 갖는다.

• 만약 \(\partial f(x) = \{g\}\) 이면, \(f\)는 \(x\) 에서 미분가능하며, \(\nabla f(x)\)가 \(g\)가 된다.