03-03 The conjugate function

Conjugate 함수에 대해 알아보자

Conjugate function은 뒷장에서 다룰 Lagrange Dual에서 최적화 문제를 상응하는 Dual problem으로 변환하는 데 사용된다. Lagrange Dual에서 미분을 할 때, 직접 미분하지 않고 Conjugate function을 이용해 바로 대입할 수 있다.

함수 \(f\)의 conjugate 는 아래와 같다.

•\(f\)가 convex가 아니어도 \(f^∗\) 는 convex이다.

Example

• Negative logarithm \(f(x)=−\log x\)

\(f∗(y)=\sup_{x>0} (xy+ \log x)\) \(= \begin{cases} -1-\log(-y), & y < 0 \\ \infty, & \text{ otherwise} \end{cases}\)

• Strictly convex quadratic \(f(x) = (1/2)x^TQx\) with \(Q∈S_{++}^n\)

\[\begin{align} f∗(y)=\sup_{x} (y^Tx−(1/2)x^TQx) & = {1 \over 2}y^TQ^−1y \end{align}\]

이는 13장에서 좀 더 상세히 다루도록 한다.