02-01-04 Cone

Cone은 빛이 광원에서 뻣어나가는 모습처럼 어떤 방향으로는 무한히 진행되지만 나머지 방향에서는 정의되지 않는 집합이다. 어떤 집합이 cone이라고 말할 수 있으려면 원점에서 집합에 속한 임의의 한 점을 지나는 반직선(ray)을 만들어서 그 반직선이 집합에 포함되는지를 보면 된다. (따라서, Cone은 반드시 원점을 포함해야 한다.) Cone은 경계를 가지므로 affine set이 될 수 없다. 수학적으로 이 내용을 정의해보자.

Cone

Cone은 반드시 원점을 포함해야 한다. 따라서. 원점에서 시작해서 집합에 속한 점 $x\in C$을 지나는 ray를 만들었을 때 $\theta x\in C$가 되면 집합 $C$를 cone 또는 nonnegative homogenous라고 한다.

$\theta x\in C$ with $x\in C$, $\theta \ge 0$

[참고] Affine set이나 convex set과는 달리, cone을 정의할 때는 ray의 출발점을 원점으로 가정하고 있기 때문에 집합에 속하는 하나의 점만을 사용해서 정의한다.

Convex Cone

집합 $C$가 cone이면서 동시에 convex이면 이를 convex cone이라고 하며 다음과 같이 정의한다.

${\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2\in C$ with $x_1,x_2\in C$, ${\theta }_1,{\theta }_2\ge 0$

다음 그림에서는 파이 모양의 convex cone을 보여주고 있다. 그림에서 $x_1$과 $x_2$는 경계에 속하는 점으로 ${\theta }_1$과 ${\theta }_2$가 모두 0이면 꼭지점이 되고, 둘 중 하나가 0이면 경계선이 되며, 둘 모두 0보다 크면 내부의 점이 된다.

Conic combination

여러 점들을 linear combination할 때 계수를 0이상으로 제한하게 되면 이를 conic combination 또는 nonnegative linear combination이라고 한다.

A point of the form ${\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+\cdots +{\theta }_k{x}_k$ with ${\theta }_i\ge 0,i=1,...,k$

이제 cone 정의를 conic combination 개념을 이용해서 일반화해 볼 수 있다. 즉, 어떤 집합 C에 속하는 임의의 여러 점들을 conic combination했을 때, 그 결과가 다시 집합 C에 속하면 그 집합은 conic set이라고 말할 수 있다.

반대로 conic set C에 속하는 점들의 conic combination은 항상 C에 속하게 된다.

Conic hull

$C\subseteq R^n$에 포함된 점들의 모든 conic combination들의 집합을 $C$의 conic hull이라고 한다. Conic hull은 항상 집합 $C$를 포함하는 가장 작은 convex cone이다.

$$\{{\theta }_1{x}_1+\cdots +{\theta }_k{x}_k\phantom{1}\mid \phantom{1}{x}_i\in C,\phantom{1}{\theta }_i\ge 0,\phantom{1}i=1,...,k\}$$

다음 그림에서는 임의의 set으로 정의되는 conic hull을 보여주고 있다.