02-01-02 Affine set

Affine set은 점(point), 직선(line), 평면(plane), 초평면(hyperplane)과 같이 선형적 특성이 있으면서 경계가 없는 집합을 말한다. 어떤 집합이 affine set이라고 말할 수 있으려면 집합에 속한 임의의 두 점으로 직선을 만들어서 그 직선이 집합에 포함되는지를 보면 된다. 이쯤에서 다들 느끼겠지만 직선이 포함된다는 의미는 경계가 없다는 의미이므로 어떤 공간이 경계가 있다면 affine set이 될 수 없다는 것을 직관적으로 알 수 있을 것이다. 수학적으로 이 내용을 정의해보자.

Affine set

집합 \(C \subseteq R^n\)에 속한 두 점 \(x_1\), \(x_2 \in C\)을 지나는 직선을 만들었을 때 이 직선이 \(C\)에 포함되면 이 집합을 affine set이라고 한다.

\(\theta x_1 + (1-\theta)x_2 \in C\) with \(\theta \in \mathbb{R}\)

이 식을 다르게 해석해 보면 set \(C\)에 속한 두 점을 linear combination하되 계수의 합을 1로 제한했다고 볼 수도 있다. (이 식에서 계수인 \(\theta\)와 \((1-\theta)\)의 합은 1이다. ) 그리고, 그 결과가 \(C\)에 다시 포함되면 affine set이다.

Affine combination

여러 점들을 linear combination할 때 계수의 합을 1로 제한하게 되면 이를 affine combination이라고 한다.

\(\theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \cdots + \theta_k x_k \in C\) with \(\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_k = 1\)

이제 affine set의 정의를 affine combination 개념을 이용해서 일반화해 볼 수 있다. 즉, 어떤 집합에 속하는 점들을 affine combination했을 때 그 결과가 다시 그 집합에 속하면 그 집합은 affine set이라고 말할 수 있다.

반대로 affine set에 속하는 점들을 affine combination하면 항상 set에 속하게 된다.

Affine hull

\(C \subseteq \mathbb{R}^n\)에 포함된 점들의 모든 affine combination들의 집합을 \(C\)의 affine hull이라고 하며 aff \(C\)로 표기한다. Affine hull aff \(C\)은 항상 affine set이며, 집합 \(C\)를 포함하는 가장 작은 affine set이다.

\[\text{aff} (C) = \{ \theta_1 x_1 + \cdots + \theta_k x_k \phantom{1} \mid \phantom{1} x_1, ..., x_k \in C, \theta_1 + \cdots + \theta_k = 1 \}\]

Affine set과 subspace의 관계

Affine set \(C\)가 있을 때 \(x_0 \in C\)라면 set \(V = C - x_0\)는 subspace이다. (\(V\)가 subspace라는 증명은 아래에 있다.)

\[V = C - x_0 = \{ x - x_0 \phantom{1} \mid \phantom{1} x \in C \}\]

따라서, “Affine set \(C\)은 linear subspace \(V\)를 \(x_0\)만큼 translation한 것이다” 라고 할 수 있으며, \(x_0\)는 집합 \(C\)에서 임의로 선택할 수 있다. 그리고, \(C\)의 차원은 \(V\)의 차원과 같다. (\(C, V \subseteq \mathbb{R}^n\))

\[C = V + x_0 = \{ v + x_0 \phantom{1} \mid\phantom{1} v \in V \}\]

[참고] \(V\)가 subspace임을 증명

\(V\)는 subspace라는 것을 증명하려면 sum과 scalar multiplication에 닫혀있다는 것을 보이면 된다. 즉, \(v_1, v_2 \in V\), \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\)에 대해 \(\alpha v_1 + \beta v_2 \in V\) 임을 보이면 된다.

증명의 방향은 \(\alpha v_1 + \beta v_2 + x_0\)가 \(C\)에 속한다는 것을 보이는 것이다. 이는 \(V = C - x_0\)에 의해 \(\alpha v_1 + \beta v_2 \in V\)가 되므로 결국 \(V\)가 subspace임을 의미한다.

먼저, \(v_1, v_2 \in V\)이므로 \(v_1 + x_0 \in C\)이고 \(v_2 + x_0 \in C\)이다. \(C\)는 affine set이므로, affine set의 정의에 의해 다음이 성립한다.

\[\alpha (v_1 + x_0) + \beta (v_2 + x_0) + (1 - \alpha - \beta) x_0 \in C\]

왜냐하면, 좌항에서 계수들의 합이 \(\alpha + \beta + (1 - \alpha - \beta) = 1\)이기 때문이다. 또한,

\[\alpha v_1 + \beta v_2 + x_0 = \alpha (v_1 + x_0) + \beta (v_2 + x_0) + (1 - \alpha - \beta) x_0\]

이므로 \(\alpha v_1 + \beta v_2 + x_0 \in C\) 이다. 따라서, \(\alpha v_1 + \beta v_2 \in V\)가 되어서 \(V\)는 sum과 scalar multiplication에 닫혀있는 subspace임을 알 수 있다.