02-01-01 Line, line segment, ray

Affine set, convex set, cone을 정의하기 위해 먼저 직선(line), 선분(line segment), 반직선(ray)을 먼저 살펴보자.

Line은 두 점을 지나면서 양쪽 방향으로 무한히 커지는 선을 말한다. 반면, line segment는 두 점 사이에서만 정의되는 선을 말하며, ray는 한 점에서 시작해서 다른 점을 지나면서 무한히 커지는 선을 말한다. 다음 그림에서는 line과 line segment를 보여주고 있다. 파라미터 θ의 범위에 따라 line, line segment, ray가 어떻게 정의될 지 상상해보라.

Line Segment

[Fig1] x1과 x2 을 지나는 Line과 Line Segment [1]

[참고] Set에 포함된 임의의 두 점을 이용해서 line 또는 line segment, ray를 만들었을 때, 이들이 set에 포함되는지 여부로 set을 정의하게 된다. (이때 set을 여러 점으로도 정의할 수 있는데, set에 포함된 여러 점들을 이용해서 affine combination, convex combination, conic combination 했을 때 그 결과가 set에 포함되는지 여부로 정의하게 된다. 자세한 내용은 뒷 절에서 설명할 것이다.)

Line

두 점 x1x2을 지나는 Line은 다음과 같이 정의된다. 이때, θ는 임의의 실수이며 θ가 0이면 yx2가 되고, θ가 1이면 yx1이 된다. 따라서, θ가 0보다 작거나 1보다 크면 x2에서 x1까지의 범위를 벗어나는 것을 위의 그림에서 확인할 수 있다.

y=θx1+(1θ)x2 with θR

Line segment

직선의 식에서 θ의 범위를 0에서 1로 제한하면 line segment가 된다. 따라서, line segment는 직선의 식에 0θ1 조건을 추가해서 정의할 수 있다.

y=θx1+(1θ)x2 with 0θ1

다음과 같이 식을 조금 다르게 표현해서 해석해보면 line segment는 점 x2에서 출발해서 (x1x2) 벡터 방향으로 θ배로 진행하다 x1에 도달하면 멈추는 것으로 생각해볼 수 있다.

y=x2+θ(x1x2) with 0θ1

Ray

Ray는 한 점에서 시작해서 다른 점을 지나면서 무한히 커지는 직선을 말한다. 점 x2에서 출발해서 (x1x2) 벡터 방향으로 θ배로 무한히 진행한다.

y=x2+θ(x1x2) with θ0

이 식을 다음과 같이 정리해 보면 위의 line과 line segment 식과 θ의 조건만 다르고 동일한 형태임을 알 수 있다.

y=θx1+(1θ)x2 with θ0

이제 θ의 범위가 line은 θR, line segment는 0θ1, ray는 θ0라는 것을 알 수 있다. 또한, 앞으로 정의하게 될 affine set, convex set, conic set에서도 θ의 범위도 동일하다는 것을 알게 될 것이다.